Mandelbrot集合

ある複素数 A に対して，次のような漸化式を計算します．nが無限に大きくなっても |z(n)|^2 が発散しないような複素数Aの集合をMandelbrot集合と呼びます．

    z(0)   = 0.0
    z(n+1) = z(n)*z(n) + A

複素平面をXY平面とし，この上にAをとります．z(n)が発散を始めるnの値をZ座標としてプロットすればMandelbrot集合の3次元表示ができます．最初に上の漸化式を再帰を使って定義します．これは，nをゼロから増加させていき， |z|^2がある数値(ここでは2としています)を越えたらその時のnを返すような関数です．複素数Aによっては反復回数が非常に大きくなりますので，とりあえずnの最大値を1000としておきます．

なおgnuplotでは，aを実部bを虚部とする複素数zは z={a,b}と表記します．複素数から実部・虚部を取り出すには，関数 real(z), imag(z) を使います．また，abs(z)でzの絶対値が求まります．逆に実数から複素数を作る方法は無いので， complex(x,y)=x*{1,0}+y*{0,1}のように関数を定義します．

complex(x,y) = x*{1,0}+y*{0,1}
mandel(x,y,z,n) = (abs(z)>2.0 || n>=1000) ? \
                  n : mandel(x,y,z*z+complex(x,y),n+1)

x,yは複素平面での座標で，複素数Aを表します．zには漸化式z^2+Aが入り， nを0から最大1000まで変化させたときabs(z)が2.0を越えた時のnの値が関数の値として返されます．この関数を呼ぶには，x,y 座標の他に，zの初期値{0,0}と nの初期値0が必要です．xとyの範囲を適当に与えたときの表示結果は次のようになります．

gnuplot> set xrange [-1.5:0.5]
gnuplot> set yrange [-1:1]
gnuplot> set logscale z
gnuplot> set isosample 50
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> set contour
gnuplot> splot mandel(x,y,{0,0},0) notitle

普通Mandelbrot集合をCGで表示するときは，画像の各ピクセルを複素平面に割り当てておき，そのピクセルに対して漸化式を計算します．計算値が発散したらその反復回数Nに応じたカラーをそのピクセルに表示します．簡単なX Windowのプログラムで作成した2次元平面でのMandelbrot集合は右のようなものです．上の図の台地の部分が右の図では黒に塗られている部分に対応します．

左の図のように，Mandelbrot集合の一部を拡大すると非常に複雑な構造を見ることができます．ここではかなり細かな等高線を描いてフラクタルらしさを表現して見ましたが，gnuplotのような線画ではこれくらいが限界で，CGで遊ぶにはやはりちょっと無理のようです．新しいgnuplot ver.3.8/4.0では3次元でのカラー表示が強化されています，それを使うともっと綺麗なものが描けます．

ここではオマケとして，X Windowで作ったMandelbrot集合のCGをお見せします．漸化式の反復回数に応じてRGBを適当に割り当てることで綺麗な絵を描くことができます．

	- not so Frequently Asked Questions - update 2004/11/29
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